L'approche centre de masse [Hämäläinen, 1987]

Dans cette approche, les nœuds $\vec{r}_k$ sont les centres de gravité des $N$ triangles, notés $\Delta_k$.

$$\phi_k(\vec{r})= \begin{cases} 1& \text{si } \vec{r} \in \Delta_k, \\ 0& \text{sinon.} \end{cases}$$

On a donc $A_{n,p} = L(\phi_p)(\vec{r}_n)$, soit, si $\vec{r}_n \in S_i$ et $\vec{r}_p \in S_j$ :

$$A_{n,p} = \frac{\sigma_i^+ \Omega_{i,r_n}^+ +\sigma_i^- \Omega_{i... ...n}{\phi_p(\vec{r})\vec{\nabla}\frac{1}{\vert\vec{r}_n-\vec{r}\vert}.d\vec{S}}}$$

Les angles solides dont les centres de gravité des triangles voient l'intérieur et l'extérieur du maillage sur lequel ils se trouvent valent $2\pi$ puisque la surface est régulière en ces points. De plus, on a $\phi_p(\vec{r}_n)=\delta_{p,n}$, et l'intégrale de surface s'annule sur tous les autres triangles que $\Delta_p$. Soit $j$ le numéro de la surface sur laquelle $\vec{r}_p$ se trouve :

$$A_{n,p} = \delta_{p,n} + \frac{1}{2\pi} \frac{\sigma_j^- - \sigma... ...\exists\vec{r}_n}{\vec{\nabla}\frac{1}{\vert\vec{r}_n-\vec{r}\vert}.d\vec{S}}$$

On obtient alors l'expression trouvée par Hämäläinen [1987] :

$$\boxed{ A_{n,p} = \delta_{p,n} - \frac{1}{2\pi} \frac{\sigma_j^- - \sigma_j^+} {\sigma_i^+ + \sigma_i^-} \Omega_{p,n} }$$

où $\Omega_{p,n}$ est l'angle solide dont le point $\vec{r}_n$ voit le triangle $\Delta_p$.