Critères à minimiser

La résolution du problème inverse consiste à rechercher le minimum d'un critère qui mesure la distance entre le signal théorique engendré par une configuration de sources et le signal mesuré. Dans l'esprit du maximum de vraisemblance, mais sans prendre en compte la covariance spatiale pour ne pas trop alourdir les calculs, nous avons choisi comme premier critère :

   critere1$$(\mathbf{d})=\sum_{i=1}^{Nb voies}{ \frac{(V_i-\hat{S}_i(\mathbf{d}))^2} {\sigma_{B_i}^2}}$$

où $\mathbf{d}$ représente les paramètres (position, orientation, amplitude) des sources dipolaires dont le nombre est supposé connu, $V_i$ représente le signal mesuré à la voie $i$, $\hat{S}_i(\mathbf{d})$ représente le signal théorique engendré par des sources de paramètres $\mathbf{d}$, et $\sigma_{B_i}^2$ est une estimation de la variance du bruit $B_i$ ( $V_i = S_i + B_i$) à la voie $i$.

Le deuxième critère que nous avons utilisé est inspiré du filtre de Wiener. Nous l'avons introduit dans le but de pondérer chaque voie en fonction du rapport signal sur bruit, afin de limiter l'influence du bruit sur la solution. Ce deuxième critère s'écrit :

   critere2$$(\mathbf{d})=\sum_{i=1}^{Nb voies}{ \frac{(\alpha_i V_i-\hat{S}_i(\mathbf{d}))^2} {\sigma_{B_i}^2}}$$

où $\alpha_i$ est choisi pour minimiser la moyenne $\delta=\overline{(\alpha_i V_i - S_i)^2}$.

Si l'on fait l'hypothèse d'un bruit additif $B_i$ de moyenne nulle, le signal $S_i$ à la voie $i$ s'écrit $V_i = S_i + B_i$.

On a

$$\delta=\overline{\alpha_i^2 V_i^2 -2 \alpha_iV_iS_i +S_i^2}$$

et donc

$$\delta=\alpha_i^2\overline{V_i^2} -2 \alpha_i\overline{V_i}S_i +S_i^2$$

Ce polynôme du second degré atteint son minimum quand :

$$\alpha_i=\frac{S_i \overline{V_i}}{\overline{V_i^2}}$$

et comme $\overline{V_i}=S_i$ et $\overline{V_i^2}=S_i^2+\overline{B_i^2}$,

$$\alpha_i=\frac{ S_i^2}{S_i^2+\overline{B_i^2}}$$

Ce que l'on peut également écrire :

$$\boxed{ \alpha_i=\frac{1}{1+\frac{\overline{B_i^2}}{S_i^2}} }$$

Notons que $0 < \alpha_i < 1$, et que pour un bruit de moyenne nulle, $\overline{B_i^2}=\sigma_{B_i}^2$.

Pour comprendre intuitivement l'effet de ce coefficient $\alpha_i$, on peut considérer les différents cas de figure suivant pour une voie $i$ donnée :

• Si le signal $S_i$ est faible et si le rapport signal sur bruit est faible, alors $\alpha_i$ est proche de 0. La contribution de la voie $i$ au critère tend alors à minimiser le signal modèle sur cette voie, mais cela a peu d'importance car $S_i$ est petit, et cela évite de ``modéliser'' le bruit.
• Lorsque le bruit $B_i$ est important et que le rapport signal sur bruit est petit, $\alpha_i$ est proche de 0, et la variance du bruit $\sigma_{B_i}^2$ est grande, donc cette voie compte peu dans le critère, ce qui permet une fois encore d'éviter de ``modéliser'' le bruit.
• Lorsque le bruit $B_i$ est faible et que le rapport signal sur bruit est grand, alors $\alpha_i$ est proche de $1$ et la voie $i$ est alors prise en compte pleinement.

Ces deux derniers cas de figure sont en fait également pris en compte par le critère1. En revanche, le premier cas de figure est mieux pris en compte par le critère2 qui ne s'appuie pas uniquement sur la variance du bruit $\sigma_{B_i}^2$ mais sur le rapport signal sur bruit : ${S_i^2}/{\overline{B_i^2}}$.

Pour chacun de ces critères, il faut estimer la variance du bruit $\sigma_{B_i}^2$, ce qui peut être fait par exemple à partir de ce qui est enregistré dans la période préstimulus. Dans notre cas, puisque c'est une simulation, nous avons pu utiliser la valeur exacte de cette variance. De plus, pour le deuxième critère, il faut estimer le rapport signal sur bruit.